《數學(xué)分析》科目大綱
(科目代碼：620)
一、考核要求
數學(xué)分析是數學(xué)與應用數學(xué)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)基礎核心課程，是學(xué)生學(xué)習分析學(xué)系列課程及數學(xué)專(zhuān)業(yè)其它后繼課程的重要基礎，也為高觀(guān)點(diǎn)下深入理解中學(xué)數學(xué)教學(xué)內容所必需。數學(xué)分析的主要內容有：極限理論、微分學(xué)、積分學(xué)及級數理論。數學(xué)分析中的極限思想十分重要，它幾乎貫穿了數學(xué)分析及其它與分析相關(guān)的自然學(xué)科的始終。數學(xué)分析課程的考核，以其基本理論和方法為主，考核學(xué)生對從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法的掌握情況，考核學(xué)生對基礎知識的掌握情況，考核學(xué)生是否具有嚴密的
邏輯推理能力，考核學(xué)生應用所學(xué)知識解決某些實(shí)際問(wèn)題的能力。
二、考核評價(jià)目標
數學(xué)分析重點(diǎn)考核學(xué)生對基礎理論知識掌握的情況以及分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力。通過(guò)考核，選拔出具有較好的數學(xué)功底的學(xué)生來(lái)攻讀數學(xué)學(xué)科的碩士研究生?？己嗽u價(jià)目標應使錄取的研究生具有較扎實(shí)與系統的從事基礎數學(xué)、應用數學(xué)以及計算數學(xué)等的進(jìn)一步學(xué)習及科研工作所需的數學(xué)分析知識。
三、考核內容
第一章 極限
第一節 實(shí)數集與函數
考核不等式、集合、映射、函數、初等函數、領(lǐng)域、上確界、下確界的定義，會(huì )進(jìn)行集合運算和函數的各種表示，能分析函數的有界性、奇偶性、單調性和周期性，熟悉確界原理。
第二節 數列極限
考核數列、數列極限的定義、無(wú)窮小數列，收斂數列的性質(zhì)，數列極限的四則運算，單調數列及單調有界定理，Cauchy列及收斂準則。
第三節 函數極限
考核函數極限的定義、性質(zhì)、四則運算、與數列極限的關(guān)系，單側極限、Cauchy收斂原理，兩個(gè)重要極限，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量及關(guān)系。
第四節 連續函數
充分理解并掌握函數極限的定義、連續的定義、函數極限與數列極限的關(guān)系、Cauchy收斂原理、一致連續的概念;能應用函數極限、連續以及一致連續的定義進(jìn)行分析、論證，能用無(wú)窮小量對極限進(jìn)行分析，區別無(wú)窮小量能否進(jìn)行代換的條件，區分不連續點(diǎn)的類(lèi)型。
第五節 實(shí)數基本定理
能綜合應用確界原理，單調有界定理，區間套定理進(jìn)行分析論證，應用收斂子列定理和Cauchy收斂定理進(jìn)行基本證明。
第二章 一元函數微分學(xué)
第一節 導數和微分
會(huì )應用導數的定義、四則運算法則、反函數的求導法則和復合函數求導法則求導數和高階導數，能綜合應用各種方法求函數的導數。
第二節 微分中值定理及應用
領(lǐng)會(huì )微分中值定理、Taylor公式的深刻含義，能用微分中值定理進(jìn)行分析、論證，能將函數展開(kāi)成Taylor多項式和其余項之和，能綜合使用
Hospital法則及Taylor公式求函數及數列的極限。能綜合應用函數的凸性、單調性(利用導數)及中值定理分析和解決問(wèn)題。
第三章 一元函數積分學(xué)
第一節 積分的計算、性質(zhì)及應用
能綜合應用各種方法(包括定義、基本公式、線(xiàn)性性質(zhì)、換元積分法、分部積分法)，計算出一般函數的積分;重點(diǎn)掌握定積分的概念，Darboux和概念等;熟練掌握可積的充要條件，可積函數類(lèi)，定積分的性質(zhì)，微積分基本定理，掌握求面積、弧長(cháng)、體積和側面積的方法，了解微元法及其應用。
第二節 反常積分
掌握反常積分斂散性的定義，奇點(diǎn)，了解Cauchy主值和反常積分收斂的關(guān)系，掌握一些重要的反常積分收斂和發(fā)散的例子，理解并掌握絕對收斂和條件收斂的概念并能用反常積分的Cauchy收斂原理、非負函數反常積分的比較判別法、Cauchy判別法，以及一般函數反常積分的Abel、Dirichlet判別法判別基本的反常積分，熟練應用積分第二中值定理。
