數學(xué)綜合考試(近世代數、泛函分析、常微分方程、解析幾何)科目大綱
(科目代碼：945)
一、考核要求
近世代數、泛函分析、常微分方程、解析幾何是數學(xué)與應用數學(xué)專(zhuān)業(yè)的核心課程，是數學(xué)專(zhuān)業(yè)研究生進(jìn)行碩士階段知識學(xué)習的重要基礎，也為高觀(guān)點(diǎn)下深入理解中學(xué)數學(xué)教學(xué)內容所必需。本門(mén)考試包含四門(mén)課程：近世代數、泛函分析、常微分方程、解析幾何，總分為100分，其 中近世代數和泛函分析分別占20分到25分，解析幾何及常微分方程分別占25到30分。
二、考核評價(jià)目標
數學(xué)綜合考試主要考察考生對數學(xué)與應用數學(xué)專(zhuān)業(yè)核心課程的基本理論和基本方法的掌握情況，以及分析解決實(shí)際問(wèn)題的的能力。
三、考核內容
《近世代數》
第一章 基本概念
考試要點(diǎn)：
掌握一些基本概念：代數運算、結合律、交換律、分配律、同態(tài)與同構、等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)的定義;理解結合律、交換律、分配律的作用以及同態(tài)滿(mǎn)射保持結合律、交換律、分配律這些數學(xué)事實(shí);熟練應用等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)可以相互決定這一結論。
考試內容：
第一節 代數運算與算律
主要講授代數運算的定義及例子，結合律及其性質(zhì)，交換律及其性質(zhì)，分配律及其性質(zhì)等。
第二節 同態(tài)與同構
主要介紹兩個(gè)帶有代數運算的集合之間的保持代數運算的映射、滿(mǎn)射及雙射以及它們各自的性質(zhì)。
第三節 等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)
主要介紹等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)這兩個(gè)概念以及等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)這二者之間的關(guān)系。
考核要求：
要讓學(xué)生識記代數運算、結合律、交換律、分配律、同態(tài)與同構、等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)的定義;領(lǐng)會(huì )結合律、交換律、分配律的作用;領(lǐng)會(huì )同態(tài)滿(mǎn)射保持結合律、交換律、分配律，等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)可以相互決定這些數學(xué)事實(shí)。
第二章 群論
考試要點(diǎn)：
掌握有關(guān)群的一些基本概念：群、變換群、置換群、循環(huán)群、子群、陪集、不變子群、商群;判斷群、子群、不變子群、商群的方法;理解群論的一些重要結論：Cayley 定理、Lagrange定理、群的同態(tài)基本定理。
考試內容：
第一節 群的定義與基本性質(zhì)
介紹群的兩種定義的等價(jià)性。對有限群給出第三種定義。介紹群的消去律、以及群中的元的階的性質(zhì)。介紹群的同態(tài)。
第二節 變換群
介紹變換的概念;給出變換群的定義;介紹一個(gè)集合的最大變換群、最小變換群;介紹Cayley定理。
第三節 置換群
介紹n次對稱(chēng)群Sn的概念;介紹Sn中的每個(gè)置換都可以表成互相沒(méi)有共同數字的循環(huán)置換的乘積這一重要結論。
第四節 循環(huán)群
介紹循環(huán)群及其生成元的概念;介紹與循環(huán)群的存在問(wèn)題、數量問(wèn)題、結構問(wèn)題有關(guān)的結論。
第五節 子群
介紹子群的定義以及判斷方法、群的子集生成的子群的特點(diǎn)。
第六節 子群的陪集
定義左同余關(guān)系以及右同余關(guān)系;確定這兩個(gè)同余關(guān)系的等價(jià)類(lèi)，得出一個(gè)群G的子群H在G中的左、右陪集的數目相等這一重要結論。介紹Lagrange定理。
