《實(shí)變函數論》 考試大綱

(科目代碼：526)

一、 考核要求

實(shí)變函數是數學(xué)與應用數學(xué)的專(zhuān)業(yè)課之一。通過(guò)本課程的學(xué)習，使學(xué)生掌握實(shí)變函數的基本理論、基本知識與基本方法，為以后進(jìn)一步的深入學(xué)習其它學(xué)科打下堅實(shí)的基礎。本課程的具體要求有：掌握集合論的基本理論;初步掌握和了解測度論的基本知識;熟練掌握可測函數的基本概念和基本性質(zhì)，掌握Lebesgue 積分的理論和方法。

二、 考核內容

第一章 集合

1、知識點(diǎn)

集合的概念和運算，對等與基數，可數集合，不可數集合，半序集和曹恩引理。

2、考核要求

1)掌握集合交，并、余等運算和上、下極限的定義和基本運算;

2)熟練掌握集合的對等的定義與性質(zhì);能熟練應用伯恩斯坦(Bernstein)定理證明集合的對等關(guān)系;

3)理解基數的定義;掌握可數集與不可數集的性質(zhì)，會(huì )判斷給定的集合是否可數。

第二章 點(diǎn)集

1、知識點(diǎn)

度量空間(n維歐氏空間)，聚點(diǎn)、內點(diǎn)和界點(diǎn)，開(kāi)集、閉集、完備集及其構造。

2、考核要求

1) 理解和掌握度量空間的定義，鄰域的性質(zhì)，有界點(diǎn)集的定義和n維區間的體積;

2) 熟練掌握n維區間點(diǎn)的關(guān)系，聚點(diǎn)、內點(diǎn)和界點(diǎn)的定義聚點(diǎn)與等價(jià)條件;

3) 掌握開(kāi)核、邊界和導集的概念和性質(zhì)極其相互關(guān)系;

4) 理解和掌握開(kāi)集、閉集和完備集的性質(zhì);

5) 理解開(kāi)集的構成區間與余區間，了解開(kāi)集、閉集的構造;熟練掌握康托爾集的構成和性質(zhì)。

第三章 測度論

1、知識點(diǎn)

約當測度，Lebesgue 外測度和內測度，可測集。

2、考核要求

1)測度的定義和性質(zhì);

2)掌握Lebesgue 外測度和內測度的定義和基本性質(zhì);

3)練掌握由卡拉皆屋鐸利給出可測集的定義及可測集的基本運算性質(zhì);

4)掌握零測集的性質(zhì);開(kāi)集、閉集的可測性;

5)約當測度與Lebesgue測度的關(guān)系;

6)解特殊的兩類(lèi)集合，波雷耳集。

第四章 可測函數

1、知識點(diǎn)

可測函數及其性質(zhì)，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，可測函數的構造，依測度收斂。

2、考核要求

1)熟練掌握可測函數及其四則運算，可測函數與簡(jiǎn)單函數的關(guān)系，幾乎處處成立的概念;

2)理解葉果洛夫定理;

3)理解并掌握魯津定理及其逆定理;

4)熟練掌握依測度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測度收斂的幾個(gè)反例，Riese定理和Lebesgue收斂定理。

第五章 積分論

1、知識點(diǎn)

Riemann積分，勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質(zhì)，一般可積函數，積分的極限定理。

2、考核要求

1)了解由確界式定義的Riemann積分，及Riemann積分的缺陷;

2)理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個(gè)充要條件;可積的四則運算，勒貝格積分與Riemann積分的關(guān)系;

3)熟練掌握勒貝格積分的基本性質(zhì)和絕對連續性 ;

4)熟練掌握一般可積函數的L積分的定義和初等性質(zhì);

5)牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理，L 逐項積分定理，積分的可數可加性，Fatou引理及有關(guān)積分與求導交換的定理。

三、參考書(shū)目

1.《實(shí)變函數與泛函分析》，程其襄，張奠宙，胡善文等編， 第3版，高等教育出版社，2010.6.

2.《實(shí)變函數論》,周民強 編著(zhù)，北京大學(xué)出版社，2001.7.