考試科目名稱(chēng):數學(xué)分析
考試科目代碼:609
考試形式:筆試
考試時(shí)間:180分鐘
滿(mǎn)分:150分
參考書(shū)目:《數學(xué)分析》(上、下)(第五版),華東師范大學(xué)數學(xué)科學(xué)學(xué)院編,高等教育出版社,2019年。
一、試卷結構:
1、計算題,共6--7小題,共70分;
2、證明題、論述題,共5—6題,共80分。
二、考試范圍:
(1)考查知識點(diǎn)
(一) 實(shí)數集與函數
1、實(shí)數:實(shí)數的概念,實(shí)數的性質(zhì),絕對值與不等式;
2、數集、確界原理:區間與鄰域,有界集與無(wú)界集,上、下確界,確界原理;
3、函數概念:函數的定義,函數的表示法,分段函數;
4、具有某些特征的函數:有界函數,單調函數,奇函數與偶函數,周期函數。
(二) 數列極限
1、數列極限概念;
2、收斂數列的性質(zhì):唯一性,有界性,保號性,單調性;
3、數列極限存在的條件:?jiǎn)握{有界準則,迫斂性法則,柯西準則。
(三) 函數極限
1、函數極限的概念;
2、函數極限的性質(zhì):唯一性,局部有界性,局部保號性,不等式性,迫斂性;
3、函數極限存在的條件:歸結原則,柯西準則;
4、兩個(gè)重要極限;
5、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量。
(四) 函數的連續性
1、連續性概念:函數在一點(diǎn)的連續性,區間連續的定義,單側連續的定義,間斷點(diǎn)及其分類(lèi);
2、連續函數的性質(zhì):局部性質(zhì)及運算,閉區間上連續函數的性質(zhì)(最大最小值性、有界性、介值性、一致連續性),反函數的連續性,一致連續性;
3、初等函數的連續性。
(五)導數與微分
1、導數概念:導數的定義、導函數、導數的幾何意義;
2、求導法則:導數的四則運算、反函數的求導法則、復合函數的求導法則、基本求導法則與公式;
3、參變量函數的導數;
4、高階導數;
5、微分:微分的概念、微分的運算法則、高階微分、微分的應用。
(六)微分中值定理及其應用
1、拉格朗日定理和函數的單調性:羅爾定理、拉格朗日定理、單調函數;
2、柯西中值定理和不定式極限:柯西中值定理、不定式極限、洛必達法則;
3、泰勒公式;
4、函數的極值與最大(小)值;
5、函數的凸性與拐點(diǎn);
6、函數圖像的討論;
7、方程的近似解。
(七)實(shí)數的完備性
1、關(guān)于實(shí)數完備性的基本定理:閉區間套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理、實(shí)數完備性基本定理之間的等價(jià)性;
2、上極限和下極限。
(八)不定積分
1、不定積分概念與基本積分公式;
2、換元積分法與分部積分法;
3、有理函數和可化為有理函數的不定積分。
(九)定積分
1、定積分的概念:概念的引入、函數可積的必要條件;
2、牛頓-萊布尼茲公式;
3、可積條件:可積的必要條件和充要條件、可積函數類(lèi);
4、定積分的性質(zhì):定積分的基本性質(zhì)、積分中值定理;
5、微積分學(xué)基本定理·定積分計算(續):變限積分與原函數的存在性、換元積分與分部積分、泰勒公式的積分型余項;
6、可積性理論補敘:上和與下和的性質(zhì)、可積的充要條件。
(十)定積分的應用
1、平面圖形的面積;
2、由平行截面面積求體積;
3、平面曲線(xiàn)的弧長(cháng)與曲率;
4、旋轉曲面的面積;
5、定積分在物理中的某些應用;
6、定積分的近似計算。
(十一)反常積分
1、反常積分的概念;
2、無(wú)窮積分的性質(zhì)與斂散判別;
3、瑕積分的性質(zhì)與斂散判別。
(十二)數項級數
1、級數的斂散性:無(wú)窮級數收斂,發(fā)散等概念,柯西準則,收斂級數的基本性質(zhì);
2、正項級數:正項級數斂散性的一般判別原則,比式判別法和根式判別法,積分判別法,拉貝判別法;
3、一般項級數:交錯級數,絕對收斂級數及其性質(zhì),阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。
(十三)函數列與函數項級數
1、一致收斂性;
2、一致收斂的函數列與函數項級數的性質(zhì)。
(十四)冪級數
1、冪級數:阿貝爾定理,收斂半徑與收斂區間,冪級數的一致收斂性,冪級數和函數的分析性質(zhì);
2、函數的冪級數展開(kāi):泰勒級數、初等函數的冪級數展開(kāi)式;
3、復變量的指數函數、歐拉公式。
(十五)傅里葉級數
1、傅里葉級數:三角級數、正交函數系、傅里葉級數、收斂定理;
2、以2L為周期的函數的展開(kāi)式;
3、收斂定理的證明。
(十六)多元函數的極限與連續
1、平面點(diǎn)集與多元函數的概念;
2、二元函數的極限:二元函數的極限、累次極限;
3、二元函數的連續性:概念、有界閉域上連續函數的性質(zhì)。
(十七)多元函數微分學(xué)
1、可微性:可微性與全微分,偏導數,偏導數的幾何意義,偏導數與連續性;全微分概念;連續性與可微性,偏導數與可微性;可微性幾何意義及應用;
2、復合函數微分法及求導公式;
3、方向導數與梯度;
4、泰勒定理與極值定理。
(十八)隱函數定理及其應用
1、隱函數:隱函數的概念,隱函數存在性條件的分析,隱函數定理,隱函數求導舉例;
2、隱函數組:概念,隱函數組定理,反函數組與坐標變換;
3、幾何應用:平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法線(xiàn),空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面,曲面的切平面和法線(xiàn);
4、條件極值。
(十九)含參量積分
1、含參量正常積分;
2、含參量反常積分:一致收斂性概念,一致收斂的判別法(柯西準則,與函數項級數一致收斂性的關(guān)系,一致收斂的M判別法),含參變量反常積分的性質(zhì);
3、歐拉積分。
(二十)曲線(xiàn)積分
1、第一型曲線(xiàn)積分:定義和計算;
2、第二型曲線(xiàn)積分:定義和計算、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的聯(lián)系。
(二十一) 重積分
1、二重積分的概念:平面圖形的面積、二重積分的定義及其存在性、二重積分的性質(zhì);
2、直角坐標系下二重積分的計算;
3、格林公式,曲線(xiàn)積分與路線(xiàn)的無(wú)關(guān)性;
4、二重積分的變量變換,極坐標計算二重積分;
5、三重積分:化三重積分為累次積分,換元法(一般變換,柱面坐標變換,球坐標變換);
6、重積分的應用。
(二十二)曲面積分
1、第一型曲面積分的概念和計算;
2、第二型曲面積分,兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系;
3、高斯公式與斯托克斯公式。
(二十三)向量函數微分學(xué)
1、n維歐氏空間與向量函數;
2、向量函數的微分;
3、反函數定理和隱函數定理。
(2)考查重點(diǎn)
(一) 實(shí)數集與函數
實(shí)數的性質(zhì),上、下確界,確界原理。
(二) 數列極限
極限概念,收斂數列的性質(zhì),數列極限存在的條件。
(三) 函數極限
函數極限的概念,函數極限的性質(zhì),函數極限存在的條件,兩個(gè)重要極限。
(四) 函數連續
函數連續的概念,連續函數的性質(zhì)。
(五)導數與微分
導數概念,求導法則,微分的定義,微分的運算法則。
(六)微分中值定理及其應用
中值定理,不定式極限與洛必達法則,函數的極值、最值,函數凹凸性與拐點(diǎn)。
(七)實(shí)數完備性定理
有界性定理、最大(小)值性定理、介值定理的、一致連續性定理。
(八)不定積分
不定積分概念與基本積分公式,換元積分法與分部積分法。
(九)定積分
定積分的概念,牛頓-萊布尼茲公式,定積分的性質(zhì)。
(十)定積分的應用
平面圖形的面積,微元法,已知截面面積函數的立體體積,平面曲線(xiàn)的弧長(cháng)與曲率,旋轉曲面的面積。
(十一)反常積分
反常積分的概念,無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂準則,瑕積分的性質(zhì)與收斂準則。
(十二)數項級數
級數的斂散性,正項級數判別法,交錯級數與萊布尼茲判別法,絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質(zhì)。
(十三)函數列與函數項級數
一致收斂性及一致收斂判別法,一致收斂的函數列與函數項級數的性質(zhì)。
(十四) 冪級數
收斂半徑與收斂區間,冪級數的一致收斂性,冪級數和函數的分析性質(zhì),函數的冪級數展開(kāi)與泰勒定理。
(十五)傅里葉級數
三角級數與正交函數系,傅里葉級數。
(十六)多元函數的極限與連續
二元函數的極限,二元函數的連續性概念。
(十七)多元函數微分學(xué)
偏導數的概念,偏導數與連續性,全微分概念,連續性與可微性,偏導數與可微性,多元復合函數微分法及求導公式。
(十八)隱函數定理及其應用
隱函數的概念,隱函數的定理,隱函數求導,條件極值。
(十九)含參量積分
含參量正常積分,含參量反常積分斂散性及其性質(zhì)。
(二十)曲線(xiàn)積分
第一型曲線(xiàn)積分的定義和計算,第二型曲線(xiàn)積分的定義和計算,兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的聯(lián)系。
(二十一) 重積分
二重積分的定義及其存在性,二重積分的性質(zhì),直角坐標系下二重積分的計算,格林公式,極坐標計算二重積分,化三重積分為累次積分。
(二十二)曲面積分
第一型曲面積分的概念和計算,第二型曲面積分,兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系,高斯公式與斯托克斯公式。
(二十三)向量函數微分學(xué)
n維歐氏空間與向量函數。
原標題:南昌航空大學(xué)2025年研究生入學(xué)考試自命題考試大綱
文章來(lái)源:https://yjs.nchu.edu.cn/zsgz/tzgg0__xwdt/tzgg4/zsgg/content_174134