科目名稱(chēng) 數學(xué)分析 編號 601

考試專(zhuān)業(yè) 數學(xué)

一、考試性質(zhì)

《數學(xué)分析》課程是數學(xué)學(xué)科各專(zhuān)業(yè)碩士研究生入學(xué)考試必考科目之一，是由教育部授權各招生院校自行命題的選拔性考試?！稊祵W(xué)分析》考試的目的是考察考生是否具備進(jìn)行本學(xué)科各專(zhuān)業(yè)碩士研究生學(xué)習所要求的水平。

二、考核目標

《數學(xué)分析》試卷旨在測試考生掌握數學(xué)分析理論的基本知識與內容、分析處理和證明基本問(wèn)題的方法與技巧。具體要求如下：

1.要求考生比較系統地理解數學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握數學(xué)分析的基本思想和方法。

2.要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學(xué)的知識分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

三、考試形式

1. 考試時(shí)間：考試時(shí)間為180分鐘。

2. 試卷滿(mǎn)分：本試卷滿(mǎn)分為150分。

3. 考試形式：閉卷、筆試。

4. 試卷題型結構：計算題、證明題、解答題。

四、考試內容

第一部分 一元函數微積分

一、極限理論 函數的連續性

1. 掌握數列的極限理論, 包括極限的定義、性質(zhì)等.

2. 掌握函數極限，包括定義、性質(zhì)、無(wú)窮小量比較等.

3. 掌握函數的連續性與連續函數的性質(zhì), 包括連續點(diǎn)與間斷點(diǎn)的分類(lèi)，初等函數的連續性，閉區間上連續函數性質(zhì)，一致連續性.

4. 掌握實(shí)數的完備性定理，包括確界存在原理、單調收斂定理、區間套定理、Cauchy收斂準則、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理.

5. 初步掌握上、下極限概念.

二、導數與微分

1. 掌握導數與微分的概念、性質(zhì);掌握導數與微分的應用，包括函數的單調性與極值，凹凸性, 拐點(diǎn)，漸近線(xiàn)與函數作圖.

2. 掌握求導法則，包括基本運算性質(zhì)，復合函數求導法則，參數方程給出的函數的求導法則等.

3. 掌握微分中值定理，包括 Fermat 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理與 Taylor公式; 掌握不定型的極限計算.

三、積分

1. 理解不定積分的概念和意義，掌握包括分部積分法和換元積分法在內的積分法;掌握有理函數的積分法;熟悉三角函數有理式的積分法以及常見(jiàn)無(wú)理函數的積分法.

2. 理解定積分的概念及基本性質(zhì)，掌握定積分的計算和應用，包括微元法和面積、弧長(cháng)、曲率等的計算.

3. 熟悉反常積分理論.

四、級數

1. 掌握數項級數的收斂概念與收斂判別法，掌握正項級數的各種收斂判別法;掌握一般項級數斂散判別法.

2. 掌握函數項級數與函數項序列的性質(zhì)以及一致收斂性的判別法.

3. 掌握冪級數收斂區間的概念及其確定方法、冪級數求和、函數展開(kāi)成冪級數(Taylor 級數)與一些常用函數的冪級數.

4. 掌握 Fourier 級數的概念及 Fourier 級數的收斂定理以及周期函數的 Fourier 級數展開(kāi);初步了解非周期函數的 Fourier 積分.

第二部分 多元函數微積分

一、微分

1. 掌握多元函數極限的概念、性質(zhì)與計算.

2. 掌握多元函數的偏導數、梯度、方向導數、微分法、微分中值定理、極值的求解等.

3. 掌握隱函數定理.

4. 了解向量值函數的微分學(xué).

二、積分

1.掌握二、三重積分，包括積分變換等計算方法.

2.掌握第一型、第二型曲線(xiàn)積分, 以及它們之間的關(guān)系.

3.掌握第一型、第二型曲面積分的計算及它們之間的關(guān)系.

4.掌握 Green 公式、Gauss 公式、Stokes 公式.

5.掌握含參變量的積分理論, 包括基本性質(zhì)、一致收斂性的判定、歐拉積分(*函數和*函數) .

五、參考書(shū)目

1. 華東師范大學(xué)數學(xué)系，數學(xué)分析(第四版)，高等教育出版社，2010.

2. 陳紀修、於崇華、金路，數學(xué)分析(第二版)，高等教育出版社，2004.