科目名稱(chēng) 高等代數 編號 809

考試專(zhuān)業(yè) 數學(xué)

一、考試性質(zhì)

《高等代數》課程是數學(xué)學(xué)科各專(zhuān)業(yè)碩士研究生入學(xué)考試必考科目之一，是由教育部授權各招生院校自行命題的選拔性考試?！陡叩却鷶怠房荚嚨哪康氖强疾炜忌欠窬邆溥M(jìn)行本學(xué)科各專(zhuān)業(yè)碩士研究生學(xué)習所要求的水平。

二、考核目標

高等代數主要內容包括多項式、行列式和線(xiàn)性方程組、矩陣及其標準形、特征值和特征向量、線(xiàn)性變換和歐式空間。要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法，有較強的運算能力和綜合分析解決問(wèn)題能力。

三、考試形式

1. 考試時(shí)間：考試時(shí)間為180分鐘。

2. 試卷滿(mǎn)分：本試卷滿(mǎn)分為150分。

3. 考試形式：閉卷、筆試。

4. 題型：計算題、證明題。

四、考試內容

1.一元多項式

了解：數域的概念與性質(zhì)、一元多項式環(huán)的概念、P[x]中n次多項式在數域P中的根不可能多于n個(gè)、多項式的因式分解.

理解：因式分解及唯一性定理、重因式的概念、余數定理、根與一次因式的關(guān)系、復系數多項式因式分解定理、實(shí)系數多項式因式分解定理.

掌握：多項式的概念、多項式的運算及性質(zhì)、整除的概念與性質(zhì)、帶余除法定理及證明、最大公因式的概念與求法(歐幾里德算法)、多項式互素的概念與性質(zhì)、多項式互素的概念與性質(zhì)、判別多項式f(x)有無(wú)重因式的方法、本原多項式的概念及性 整系數多項式有理根的理論與方法、 Eisenstein判別法.

2.行列式

了解：行列式概念的引出及應用、排列、排列的逆序數、偶排列與奇排列的概念與性質(zhì)排列、排列的逆序數、偶排列與奇排列的概念與性質(zhì)、拉普拉斯定理.

理解：對角形行列式的性質(zhì)、子式和代數余子式、行列式的乘法定理.

掌握：n級行列式的定義、行列式的性質(zhì)、簡(jiǎn)化行列式的計算、行列式按一行(列)展開(kāi)定理、Cramer法則及應用.

3. 線(xiàn)性方程組

了解：線(xiàn)性方程組初等變換的概念及性質(zhì).

理解：線(xiàn)性組合和線(xiàn)性表出以及兩個(gè)向量組等價(jià)的概念、矩陣秩的概念、矩陣k級子式的概念及矩陣秩為r的充分必要條件、向量組線(xiàn)性相關(guān)性與齊次線(xiàn)性方程組解的關(guān)系.

掌握：利用初等變換(消元法)解線(xiàn)性方程組的方法、矩陣的初等變換、數域P上的n維向量的概念及運算規則、向量組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念及基本性質(zhì)、求向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組與秩、計算矩陣秩的方法、線(xiàn)性方程組有解判別定理、齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)及基礎解系的概念、齊次線(xiàn)性方程組基礎解系的方法、非齊次線(xiàn)性方程組解的結構定理.

4. 矩陣

了解：矩陣乘積(為方陣時(shí))的行列式與秩和它的因子的行列式與秩的關(guān)系、可逆矩陣與矩陣乘積的逆與秩的關(guān)系、分塊矩陣及分塊矩陣的運算規律及應用.

理解：矩陣A可逆及逆矩陣的概念、初等矩陣的概念與性質(zhì)、矩陣等價(jià)的概念、任一矩陣都與其標準形等價(jià).

掌握：矩陣的加法、乘法、數量乘法及矩陣的轉置定義及性質(zhì)、伴隨矩陣與逆矩陣的關(guān)系、初等變換與初等矩陣的關(guān)系及矩陣A與B等價(jià)的充要條件、判定可逆性和求逆矩陣的方法.

5. 二次型

了解：二次型、二次型矩陣的概念及二次型的矩陣表示、復二次型、實(shí)二次型的規范形及規范形的唯一性(慣性定理).

理解：矩陣合同的概念及性質(zhì)、二次型的標準形概念、任一對稱(chēng)矩陣都合同于一對角矩陣.

掌握：用非退化線(xiàn)性替換化二次型為標準形的方法、正定二次型及正定矩陣的概念、二次型為正定的充分必要條件及正定矩陣的性質(zhì).

6. 線(xiàn)性空間

了解：集合，映射的概念、線(xiàn)性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)、子空間的概念、直和的概念.

理解：線(xiàn)性空間維數、基與坐標的概念、子空間交與和的概念、維數公式、數域P上兩個(gè)有限維線(xiàn)性空間同構的充分必要條件.

掌握：過(guò)渡矩陣的概念及坐標變換公式、線(xiàn)性空間V的非空子集W成為子空間的條件、生成的子空間概念及性質(zhì)、掌握V1+V2是直和的充分必要條件、同構概念及性質(zhì).

7. 線(xiàn)性變換

了解： 線(xiàn)性變換的簡(jiǎn)單性質(zhì);線(xiàn)性變換的乘法、加法、數乘、逆變換的概念與性質(zhì)、特征子空間概念、Hamilton-Caylay定理.

理解：相似矩陣的概念與性質(zhì)、線(xiàn)性變換的值域與核的概念及主要性質(zhì)、不變子空間的概念及主要性質(zhì).

掌握：線(xiàn)性變換的概念、恒等變換、數乘變換、線(xiàn)性變換在某基下的矩陣的概念、在取定一組基后，線(xiàn)性變換與n×n矩陣1—1對應、用線(xiàn)性變換矩陣計算向量的象的坐標的公式、線(xiàn)性變換在兩組基下的矩陣之間的關(guān)系、特征值與特征向量的概念以及求特征值與特征向量的方法、n維線(xiàn)性空間的一個(gè)線(xiàn)性變換在某基下的矩陣為對角矩陣的充分必要條件及判別辦法、矩陣相似于一個(gè)對角矩陣的條件.

8.歐幾里得空間

了解：歐氏空間同構的概念及條件.

理解：歐幾里得空間的定義及基本性質(zhì)、向量長(cháng)度的概念、單位向量、柯西-布涅柯夫斯基不等式、夾角的概念.

掌握：正交向量及性質(zhì)、度量矩陣的概念;標準正交基定義、熟練掌握施密特正交化過(guò)程以及正交對角化實(shí)對稱(chēng)矩陣.

五、參考書(shū)目

北京大學(xué)編《高等代數》，高等教育出版社，1978年3月第1版，2003年7月第3版，2003年9月第2次印刷.