學科教學(數學)專業考試科目名稱及代碼：數學分析與高等代數880

數學分析與高等代數科目考試大綱

(1)科目及代碼：數學分析與高等代數(科目代碼：880)

(2)主要參考書目：

[1]華東師范大學數學系主編.《數學分析》(第五版上冊)，高等教育出版社，2019.

[2]北京大學數學系前代數小組編.高等代數(第五版)，高等教育出版社，2019.

(3)本考試大綱適用于報考學科教學(數學)碩士研究生的入學考試。

(4)考試方式與試卷結構

考試方式：閉卷筆試。

本科目滿分150分，每門課程約占75分，考試時間180分鐘。

試題題型：計算題(約60分)、證明題(約60分)、解答題(約30分)。

(5)考試內容及基本要求

(一)數學分析部分：數列極限、函數極限、函數連續性、導數與微分、微分中值定理、不定積分、定積分、定積分的應用、反常積分。

1.函數的極限與連續

1)理解數列和函數極限的定義、性質，會求數列和函數的極限;

2)理解連續的定義，會判別間斷點類型，理解閉區間上連續函數的性質;

3)理解初等函數在其定義區間上的連續性，掌握利用連續性求極限的方法。

2.導數

1)理解導數的定義與幾何意義、可導與連續的關系;

2)會求函數的導數：復合函數求導、隱函數求導、參數方程所確定的函數的導數、對數求導法、分段函數的導數、高階導數;

3)理解微分的定義、微分與導數的關系，會用定義判別可微性，會求一元函數的微分。

3.微分

1)理解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，并會用它們證明根的存在性和簡單不等式;

2)會用洛必達法則求極限;

3)理解函數極值的概念，會求函數極值和最值;

4)理解函數的泰勒公式，掌握常見基本初等函數的泰勒公式;

5)會判別曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。

4.不定積分

1)理解原函數和不定積分的概念、不定積分的性質、原函數存在性定理;

2)掌握不定積分基本公式、換元積分法、分部積分法，會求不定積分。

5.定積分

1)理解定積分的定義、性質和幾何意義，了解可積的必要和充分條件;

2)掌握變上限積分的求導、牛頓萊布尼茨公式、定積分的換元和分部積分法，會求定積分;

3)掌握定積分在幾何中的應用，會求平面圖形的面積、旋轉體的體積、曲線的弧長等。

6.反常積分

1)理解廣義積分的概念、性質和幾何意義;

2)會判別廣義積分收斂性。

(二)高等代數部分：多項式、行列式和線性方程組、矩陣及其標準形、二次型、特征值和特征向量、線性變換、歐氏空間。

1.多項式

1)理解并掌握一元多項式的概念和性質，掌握整除的概念和性質，掌握帶余除法理論，會用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式，會證明有關互素的一些命題;

2)掌握因式分解定理，會判斷多項式有無重因式，掌握余數定理，會判斷多項式有無重根，掌握復系數、實數多項式及有理系數多項式的因式分解理論;

3)理解并掌握根與系數關系，掌握關于有理系數多項式的理論，會求有理系數多項式的有理根，會判斷多項式在有理數域上是否可約。

2.行列式

1)掌握行列式的定義和基本性質，會計算高階規律性強的行列式，掌握范德蒙德(Vandermonde)行列式，并且能運用行列式理論解決相關問題;

2)掌握行列式的按行(按列)展開定理，會應用克拉默(Cramer)法則解決線性方程組的相關問題。

3.矩陣

1)理解矩陣的基本概念及其性質，掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置，以及這些運算的規律;

2)掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充要條件，掌握伴隨矩陣的概念與性質，理解矩陣的初等變換及矩陣等價的概念，會求矩陣的秩及逆矩陣;

3)理解分塊矩陣，掌握分塊矩陣的運算及初等變換。

4.線性方程組求解

1)理解向量線性相關、向量組等價、極大無關組、向量組的秩、矩陣的秩、基礎解系、解空間等概念,會證明有關線性相關或線性無關的命題;

2)掌握線性方程組解的理論，會求解線性方程組。

5.二次型

1)掌握二次型的概念及二次型的矩陣表示、二次型秩的概念、二次型的標準形、規范形及慣性定律，會用合同變換、正交變換化二次型為標準形;

2) 掌握二次型和對應矩陣的正定、半正定、負定、半負定及其判別法，會判斷二次型和對應矩陣的正定性。

6.線性空間

1)理解線性空間、子空間、生成子空間、基、維數、坐標、過渡矩陣、子空間的直和、線性空間同構等概念，會證明有關子空間的直和的命題;

2)掌握基擴張定理、維數公式，會求基、維數、坐標及過渡矩陣。

7.線性變換

1)理解線性變換、特征多項式、特征子空間、不變子空間、相似變換、相似矩陣等概念;

2)掌握線性變換的性質，特征值、特征向量的性質，核空間與值域的性質，會求給定矩陣的特征值、特征向量;

3)掌握線性變換與矩陣“互化”的思想方法。

8.歐氏空間

1)掌握內積、歐氏空間、向量長度、夾角、距離、度量矩陣、標準正交基、正交變換、正交矩陣等概念;

2)掌握標準正交基的性質、正交變換的性質，會用施密特(Schmidt)正交化方法化線性無關向量組為標準正交向量組;

3)掌握實對稱矩陣的特征值、特征向量的性質，會用正交相似變換將實對稱矩陣相似(合同)對角化