考研數學(xué)的定理證明是一直考生普遍感覺(jué)不太有把握的內容，而2016年考研數學(xué)真題釋放出一個(gè)明確信號——考生需重視教材中重要定理的證明。下面跨考教育為考生梳理一下教材中那些要求會(huì )證的重要定理。
一、求導公式的證明
2015年真題考了一個(gè)證明題：證明兩個(gè)函數乘積的導數公式。幾乎每位同學(xué)都對這個(gè)公式怎么用比較熟悉，而對它怎么來(lái)的較為陌生。實(shí)際上，從授課的角度，這種在2015年前從未考過(guò)的基本公式的證明，一般只會(huì )在基礎階段講到。如果這個(gè)階段的考生帶著(zhù)急功近利的心態(tài)只關(guān)注結論怎么用，而不關(guān)心結論怎么來(lái)的，那很可能從未認真思考過(guò)該公式的證明過(guò)程，進(jìn)而在考場(chǎng)上變得很被動(dòng)。這里給2017考研學(xué)子提個(gè)醒：要重視基礎階段的復習，那些真題中未考過(guò)的重要結論的證明，有可能考到，不要放過(guò)。
當然，該公式的證明并不難。先考慮f(x)*g(x)在點(diǎn)x0處的導數。函數在一點(diǎn)的導數自然用導數定義考察，可以按照導數定義寫(xiě)出一個(gè)極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達法則，因為分子的導數不好算(乘積的導數公式恰好是要證的，不能用!)。利用數學(xué)上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個(gè)“無(wú)中生有”的項要和前后都有聯(lián)系，便于提公因子。之后分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點(diǎn)的導數公式。
類(lèi)似可考慮f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的導數公式的證明。
二、微分中值定理的證明
這一部分內容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會(huì )證。
費馬引理的條件有兩個(gè)：1.f'(x0)存在2. f(x0)為f(x)的極值，結論為f'(x0)=0?？紤]函數在一點(diǎn)的導數，用什么方法?自然想到導數定義。我們可以按照導數定義寫(xiě)出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關(guān)鍵要看第二個(gè)條件怎么用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數學(xué)語(yǔ)言即f(x) -f(x0)<0(或>0)，對x0的某去心鄰域成立。結合導數定義式中函數部分表達式，不難想到考慮函數部分的正負號。若能得出函數部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個(gè)橋梁。
費馬引理中的“引理”包含著(zhù)引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個(gè)考頻最高的，那羅爾定理當之無(wú)愧。該定理的條件和結論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區間連續”、“開(kāi)區間可導”和“端值相等”，結論是在開(kāi)區間存在一點(diǎn)(即所謂的中值)，使得函數在該點(diǎn)的導數為0。該定理的證明不好理解，需認真體會(huì )：條件怎么用?如何和結論建立聯(lián)系?當然，我們現在討論該定理的證明是“馬后炮”式的：已經(jīng)有了證明過(guò)程，我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時(shí)代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng )新，是要流芳百世的。
閑言少敘，言歸正傳。既然我們討論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過(guò)程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個(gè)定理的結論，不難發(fā)現是一致的：都是函數在一點(diǎn)的導數為0。話(huà)說(shuō)到這，可能有同學(xué)要說(shuō)：羅爾定理的證明并不難呀，由費馬引理得結論不就行了。大方向對，但過(guò)程沒(méi)這么簡(jiǎn)單。起碼要說(shuō)清一點(diǎn)：費馬引理的條件是否滿(mǎn)足，為什么滿(mǎn)足?
前面提過(guò)費馬引理的條件有兩個(gè)——“可導”和“取極值”，“可導”不難判斷是成立的，那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個(gè)條件可能和極值產(chǎn)生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個(gè)條件是函數在閉區間上連續。我們知道閉區間上的連續函數有很好的性質(zhì)，哪條性質(zhì)和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。那么最值和極值是什么關(guān)系?這個(gè)點(diǎn)需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結論是：若最值取在區間內部，則最值為極值;若最值均取在區間端點(diǎn)，則最值不為極值。那么接下來(lái)，分兩種情況討論即可：若最值取在區間內部，此種情況下費馬引理條件完全成立，不難得出結論;若最值均取在區間端點(diǎn)，注意到已知條件第三條告訴我們端點(diǎn)函數值相等，由此推出函數在整個(gè)閉區間上的最大值和最小值相等，這意味著(zhù)函數在整個(gè)區間的表達式恒為常數，那在開(kāi)區間上任取一點(diǎn)都能使結論成立。
拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來(lái)的。掌握這兩個(gè)定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過(guò)拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個(gè)的定理的證明過(guò)程中體現出來(lái)的基本思路，適用于證其它結論。
以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個(gè)定理的結論。羅爾定理的結論等號右側為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結論作變形，變成羅爾定理結論的形式，移項即可。接下來(lái)，要從變形后的式子讀出是對哪個(gè)函數用羅爾定理的結果。這就是構造輔助函數的過(guò)程——看等號左側的式子是哪個(gè)函數求導后，把x換成中值的結果。這個(gè)過(guò)程有點(diǎn)像犯罪現場(chǎng)調查：根據這個(gè)犯罪現場(chǎng)，反推嫌疑人是誰(shuí)。當然，構造輔助函數遠比破案要簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單的題目直接觀(guān)察;復雜一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數求不定積分。
