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考試科目：高等代數
考試形式：筆試(閉卷)
考試時(shí)間：180分鐘
考試總分：150分
一、總體要求
對高等代數基本概念把握準確，高等代數課程中的基本理論和基本方法，考查綜合運用所學(xué)知識解決問(wèn)題的能力。
二、內容
1. 預備知識
(1) 連加符號與連乘符號;
(2) 數域的基本概念和基本性質(zhì);
(3) 集合的笛卡爾積與集合上的等價(jià)關(guān)系, 基本的代數系統: 群.
2. 矩陣
(1) 矩陣的基本概念, 常見(jiàn)的特殊矩陣;
(2) 矩陣的加法、數乘、轉置、乘法和求逆運算;
(3) 逆矩陣的概念、性質(zhì)及其若干等價(jià)刻畫(huà), 逆矩陣計算的基本原理;
(4) 初等變換與初等矩陣的關(guān)系, 消元法求解方程組的方法, 初等變換化矩陣為行簡(jiǎn)化階梯形的方法;
(5) 矩陣的常見(jiàn)分塊運算與性質(zhì).
3. 行列式
(1) 行列式的遞歸定義, 行列式定義的幾何意義;
(2) 行列式的各種性質(zhì);
(3) 行列式的計算;
(4) 行列式展開(kāi)的拉普拉斯定理;
(5) 伴隨矩陣的概念、性質(zhì)與計算, 克蘭姆法則求解非齊次線(xiàn)性方程組;
(6) 矩陣秩的概念及其相關(guān)性質(zhì), 矩陣的相抵標準形, 分塊矩陣初等變換證明矩陣秩等式與不等式.
4. n維向量空間
(1) 數域上n維向量空間中的基本概念;
(2) 向量組的線(xiàn)性組合, 線(xiàn)性表出與線(xiàn)性相關(guān)性等基本概念、性質(zhì)與相關(guān)定理;
(3) 向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組的基本概念;
(4) 一般線(xiàn)性方程組解的結構, 線(xiàn)性方程組求解的基本方法.
5.多項式
(1) 多項式的基本概念, 多項式的帶余除法與綜合除法;
(2) 因式、公因式、最大公因式與最小公倍式的概念, 最大公因式的基本性質(zhì)及其計算;
(3) 數域F上不可約多項式的基本概念、性質(zhì)與定理;
(4) 實(shí)系數與復系數多項式的因式分解定理;
(5) 本原多項式的概念和性質(zhì), 有理數域上多項式可約性與整數環(huán)上多項式可約性的關(guān)系;
(6) 多項式根與系數關(guān)系的韋達定理, 有理系數多項式的有理根判別方法, 有理數域上不可約多項式的判別方法.
6. 線(xiàn)性空間
(1) F-空間的各種基本概念, 如線(xiàn)性運算、維數、基與坐標、基變換與子空間;
(2) 子空間的交、和的概念、性質(zhì)與定理;
(3) 兩個(gè)子空間直和的概念, 兩個(gè)子空間做成直和的若干等價(jià)刻畫(huà), 多個(gè)子空間直和的概念與刻畫(huà);
(4) 線(xiàn)性空間同構的概念與性質(zhì).
7. 線(xiàn)性變換
(1) 線(xiàn)性映射、線(xiàn)性變換的概念, 性質(zhì).
(2) 對給定的線(xiàn)性空間, 經(jīng)由基底線(xiàn)性變換與矩陣的一一對應以及運算上面的對應. 能運用這種對應關(guān)系來(lái)轉化問(wèn)題.
(3) 線(xiàn)性變換的特征值, 特征向量; 矩陣的特征值, 特征向量. 線(xiàn)性變換與矩陣的特征值特征向量之間的聯(lián)系. 特征值和特征向量的計算及相關(guān)證明.
(4) 線(xiàn)性變換(矩陣)特征值, 特征向量與矩陣能否相似對角化的關(guān)系.
(5) 線(xiàn)性變換的值域和核的概念, 不變子空間的概念及其與矩陣化簡(jiǎn)的關(guān)系.
(6) 對偶空間的定義及性質(zhì).
8. Jordan標準形與λ-矩陣
(1) 矩陣最小多項式的概念, 與特征多項式和零化多項式的緊密關(guān)聯(lián), 最小多項式與相似對角化的關(guān)系.
(2) 冪零與半單線(xiàn)性變換的概念和性質(zhì), 中國剩余定理及其計算.
(3) 矩陣的Jordan-Chevalley分解, 循環(huán)不變子空間的概念.
(4) λ-矩陣的概念和性質(zhì), 相抵標準形的存在唯一性, 相抵標準形的計算, 不變因子組與各階行列式因子的概念與關(guān)聯(lián).
(5) λ-矩陣相抵與矩陣相似的關(guān)系, 矩陣的有理標準形的概念和計算.
(6) 初等因子組的概念和性質(zhì), Jordan標準形的理論、計算及其應用.
9. 歐氏空間
(1) 歐氏空間的定義及性質(zhì), 歐氏空間同構的意義和結論, QR分解與LU分解;
(2) 歐氏空間中內積, 長(cháng)度, 夾角, 在給定基下度量矩陣的概念, Cauchy不等式的證明及應用;
(3) 標準正交基的相關(guān)概念和性質(zhì), Scmidt正交化方法
(4) 正交變換, 正交矩陣以及標準正交基之間的關(guān)系與聯(lián)系.
(5) 實(shí)對稱(chēng)矩陣正交對角化的理論, 計算以及應用.
10. 二次型與雙線(xiàn)性函數
(1) 二次型及其矩陣表示, 合同變換與合同矩陣, 二次型的秩等概念
(2) 用配方法化二次型為標準形, 慣性定理, 標準形和規范形, 二次型及其矩陣的正定性判定與計算.
(3) 用正交替換化二次型為標準形的計算.
(4) 雙線(xiàn)性函數的定義, 概念及其性質(zhì).
三、題型及分值比例
填空題: (20%)
計算題: (40%)
證明題: (40%)
原標題：電子科技大學(xué)2025年碩士研究生招生考試初試科目高等代數參考書(shū)目和考試大綱的公告
文章來(lái)源：https://www.math.uestc.edu.cn/info/1029/8658.htm
