科目名稱(chēng)：數學(xué)分析

科目代碼：601

一、考試范圍及要點(diǎn)

1、變量，函數，極限，連續

理解函數的概念，掌握函數的幾何特性，理解復合函數，反函數，掌握基本初等函數的性質(zhì)及圖形。理解數列極限的定義，會(huì )利用定義來(lái)證明數列的極限。掌握數列極限的性質(zhì)，了解有界數列的定義，掌握數列極限的運算，掌握單調有界數列的定義，了解極限存在的判別法(單調有界數列比有極限)。了解無(wú)窮大量和無(wú)窮小量無(wú)窮小量的階的定義，了解無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的幾何意義。掌握無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的關(guān)系和一些運算法則。理解函數在一點(diǎn)的極限的定義及其幾何意義，掌握函數極限的性質(zhì)和運算法則。掌握函數極限和數列極限之間的關(guān)系。理解單側極限的定義(左極限、右極限)，掌握函數在無(wú)窮遠處極限和函數值趨于無(wú)窮大時(shí)極限的定義(正無(wú)限遠和負無(wú)限遠)，掌握兩個(gè)常用的不等式和兩個(gè)重要的極限(夾逼準則和單調有界準則)，會(huì )用兩個(gè)極限求極限。掌握函數在一點(diǎn)連續的定義(連續、左連續、右連續)，理解連續函數的性質(zhì)和運算，了解初等函數的連續性，了解不連續點(diǎn)的定義，會(huì )判斷函數的間斷點(diǎn)及其類(lèi)型(第一類(lèi)、第二類(lèi)和可移)，了解閉區間上連續函數的性質(zhì)(有界性、具有最大最小值、零點(diǎn)存在定理)，掌握函數一致連續的定義及其幾何意義，會(huì )利用定義證明函數的一致連續性。理解子列、上確界和下確界的定義，并會(huì )求數列的上下確界。掌握實(shí)數的基本定理(區間套定理，致密性定理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理)，了解閉區間上連續函數性質(zhì)的證明。

2、 單變量微分學(xué)

理解導數和微分的定義及幾何意義，了解函數的可導性與連續性之間的關(guān)系。會(huì )利用定義求簡(jiǎn)單函數的導數，掌握簡(jiǎn)單函數的導數公式和求導法則(和差運算、數乘運算、乘積運算、相除運算)，掌握反函數和復合函數的求導法，了解對數函數求導法。了解微分的運算法則和一階形式不變性，理解高階導數與高階微分的定義，會(huì )求隱函數及參數方程所表示的函數的一階和高階導數，了解不可導函數的形式，掌握高階導數的運算法則。理解并會(huì )運用微分學(xué)的基本定理(費爾馬定理，拉格朗日定理，柯希定理)，會(huì )利用導數作近似計算，掌握泰勒公式，會(huì )求函數在給定點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式。掌握函數的極大值與極小值，最大值和最小值，凸性和函數的升降，掌握用導數判斷函數的單調性和求極值的方法。掌握漸近線(xiàn)的求法(水平、垂直和斜漸近線(xiàn))。根據導數判斷所給函數的上升與下降，凸性和極值，并出函數的圖形。知道什么是曲線(xiàn)的曲率，弧長(cháng)的微分，掌握曲率的計算，了解...掌握求待定型的方法(洛必達法則)，會(huì )求方程的近似解。

3、單變量積分學(xué)

理解不定積分和定積分的定義及性質(zhì)，掌握不定積分的基本公式與運算法則，會(huì )計算不定積分(“湊”微分法、換元積分法、分部積分法、有理函數積分法)，會(huì )求簡(jiǎn)單的有理函數的積分，掌握其他類(lèi)型的積分法。掌握定積分存在的充分必要條件(第一充要條件、第二充要條件)，了解可積函數類(lèi)，掌握定積分的計算――基本公式(牛頓-萊布尼茲公式)、換元公式、分部積分公式，會(huì )利用定積分來(lái)求和式的極限。了解橢圓積分(第一類(lèi)、第二類(lèi)、第三類(lèi))。掌握定積分的應用和近似計算，會(huì )計算平面圖形的面積，曲線(xiàn)的弧長(cháng)，體積，旋轉曲面的面積，質(zhì)心，平均值，功。知道廣義積分分為無(wú)限區間上的廣義積分和無(wú)界函數的積分兩種，了解無(wú)窮限廣義積分和無(wú)界函數廣義積分的概念，會(huì )利用定義來(lái)求這兩類(lèi)廣義積分。了解無(wú)窮限廣義積分和級數之間的關(guān)系，掌握這兩類(lèi)積分收斂的判別法(比較判別發(fā)、柯希判別法及其極限形式)，會(huì )證明廣義積分的斂散性，了解什么是柯西主值，會(huì )求廣義積分的柯西主值。

4、 數項級數，函數項級數，冪級數

理解上極限和下極限的概念以及上下極限和極限的關(guān)系。理解無(wú)窮級數和級數...收斂的定義，了解收斂級數的一些基本性質(zhì)，掌握柯西收斂原理，會(huì )利用柯西收斂原理判別級數的收斂性。理解正項級數的定義，掌握正相級數收斂的基本定理和判別法(比較判別發(fā)、柯西判別法、達朗貝爾判別法及其極限形式)，了解柯西積分判別法，并會(huì )利用這些判別法來(lái)證明正項級數的斂散性。理解絕對收斂和條件收斂的定義及其之間的關(guān)系。掌握交錯級數的萊布尼茲定理，掌握阿貝爾判別法和狄立克萊判別法，并會(huì )利用他們來(lái)判斷任意項級數的斂散性。了解絕對收斂級數和條件收斂級數的性質(zhì)。理解函數項級數的概念，掌握一致收斂的定義及一致收斂級數的幾何意義，會(huì )判斷函數列的一致收斂性，理解一致收斂級數的性質(zhì)(和的連續性、逐項求導、逐項求積)，掌握一致收斂級數的判別法(魏爾斯特拉斯判別法、狄尼定理、狄立克萊判別法、阿貝爾判別法)，會(huì )討論函數項級數的斂散性。理解冪級數的定義及性質(zhì)，會(huì )求冪級數的收斂半徑，了解函數的冪級數展開(kāi)，并會(huì )對簡(jiǎn)單的函數進(jìn)行冪級數展開(kāi)，了解魏爾斯特拉斯逼近定理。理解富里埃級數的定義和形式，掌握黎曼引理，了解富里埃級數的一些性質(zhì)，理解狄尼定理及其推論，掌握l(shuí)ipschitz判別法，掌握函數的富里埃級數展開(kāi)，會(huì )將簡(jiǎn)單函數展開(kāi)為富里埃級數(正弦級數和余弦級數)。了解周期為T(mén)的函數的富里埃級數展開(kāi)，知道富里埃級數的復數形式，了解富里埃變換和富里埃逆變換的概念，掌握富里埃變換的一些性質(zhì)(線(xiàn)性、平移、導數、復數)，會(huì )求函數的富里埃變換。

5、 多元函數的極限論

掌握平面點(diǎn)集上的有關(guān)定義(鄰域，點(diǎn)列的極限，開(kāi)集，閉集，區域，內點(diǎn)，外點(diǎn)、聚點(diǎn))，了解平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理(矩形套定理、致密性定理、有限覆蓋定理、收斂原理)，理解多元函數的概念(二元函數)，理解二元函數極限和連續性的定義，了解有界閉區域上連續函數的性質(zhì)(有界性定理、一致連續性定理、最大值最小值定理、零點(diǎn)存在定理)，掌握二重極限和二次極限的定義，并會(huì )求二元函數的二重極限和二次極限，了解二重極限和二次極限之間的關(guān)系。

6、多變量微分學(xué)

理解偏導數和全微分的定義，了解全微分存在的必要條件和充分條件，會(huì )求多元函數的偏導數和全微分。理解高階偏導數和高階全微分的概念，掌握復合函數求偏導的鏈式法則，會(huì )求復合函數的二階偏導數，會(huì )求隱函數(包括由方程(組)所確定的隱函數)的偏導數。了解空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面的求法，曲面的切平面與法線(xiàn)的求法，理解方向導數與梯度的概念及其計算方法。知道多元函數的泰勒公式。了解極值，極值點(diǎn)和條件極值的概念，會(huì )求函數的極值，了解最最小二乘法，理解方程或方程組的隱函數存在定理，理解函數行列式的性質(zhì)。

7、 含參變量的積分和廣義積分

理解含參變量的積分及由含參變量積分所確定的函數的性質(zhì)(連續性，可微性，可積性)，了解含參變量廣義積分的定義，掌握一致收斂的定義，一致收斂積分的判別法(魏爾斯特拉斯判別法)，及一致收斂積分的性質(zhì)(連續性定理，積分順序交換定理，積分號下求導定理)，了解歐拉積分。

8、多變量積分學(xué)

掌握二重積分、三重積分、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分、第一類(lèi)曲面積分、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分、第二類(lèi)曲面積分的概念及其積分的性質(zhì)。掌握二重積分與三重積分的計算及應用(化二重積分為二次積分，用極坐標計算二重積分，二重積分的一般變量替換，化三重積分為三次積分，三重積分的變量替換)。了解積分在物理上的應用(質(zhì)心，矩，引力)。了解廣義重積分的定義。掌握第一、二類(lèi)曲線(xiàn)積分和第一、二類(lèi)曲面積分的計算，會(huì )計算曲面的面積，會(huì )化第一類(lèi)曲面積分為二重積分。了解兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間和兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系，掌握各種積分間的聯(lián)系(格林公式、高斯公式、斯托克司公式)，會(huì )利用這些公式計算曲線(xiàn)的積分。會(huì )使用平面曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，了解場(chǎng)及向量場(chǎng)的散度與旋度的概念。會(huì )用重積分、曲線(xiàn)積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(如體積、曲面面積、弧長(cháng)、質(zhì)量、重心、轉動(dòng)慣量、引力、功等)。

參考書(shū)目：

《數學(xué)分析》(上、下)， 華東師范大學(xué)數學(xué)系編著(zhù)，高等教育出版社出版，2010年第四版