考研到了最后一個(gè)月，這個(gè)時(shí)候考生在復習數學(xué)時(shí)，千萬(wàn)不要再大量做題了，應該回歸教材，理清基本的知識點(diǎn)，梳理整個(gè)學(xué)科的知識框架。保持良好的心態(tài)，以最好的狀態(tài)走上考場(chǎng)?？缈冀逃龜祵W(xué)教研室李擂老師根據多年的教學(xué)經(jīng)驗，總結了考研數學(xué)高等數學(xué)的知識體系，希望能對廣大能有所幫助。
從整個(gè)學(xué)科上來(lái)看，高數實(shí)際上是圍繞著(zhù)極限、導數和積分這三種基本的運算展開(kāi)的。對于每一種運算，我們首先要掌握它們主要的計算方法;熟練掌握計算方法后，再思考利用這種運算我們還可以解決哪些問(wèn)題，比如會(huì )計算極限以后：那么我們就能解決函數的連續性，函數間斷點(diǎn)的分類(lèi)，導數的定義這些問(wèn)題。這樣一梳理，整個(gè)高數的邏輯體系就會(huì )比較清晰。
極限部分：
極限的計算方法很多，總結起來(lái)有十多種，這里我們只列出主要的：四則運算，等價(jià)無(wú)窮小替換，洛必達法則，重要極限，泰勒公式，中值定理，夾逼定理，單調有界收斂定理。每種方法具體的形式教材上都有詳細的講述，考生可以自己回顧一下，不太清晰的地方再翻到對應的章節看一看。
會(huì )計算極限之后，我們來(lái)說(shuō)說(shuō)直接通過(guò)極限定義?的基本概念：
通過(guò)極限，我們定義了函數的連續性：函數在處連續的定義是，根據極限的定義，我們知道該定義又等價(jià)于。所以討論函數的連續性就是計算極限。然后是間斷點(diǎn)的分類(lèi)，具體標準如下：
從中我們也可以看出，討論函數間斷點(diǎn)的分類(lèi)，也僅需要計算左右極限。
再往后就是導數的定義了，函數在處可導的定義是極限存在，也可以寫(xiě)成極限存在。這里的極限式與前面相比要復雜一點(diǎn)，但本質(zhì)上是一樣的。最后還有可微的定義，函數在處可微的定義是存在只與有關(guān)而與 無(wú)關(guān)的常數使得時(shí)，有，其中。直接利用其定義，我們可以證明函數在一點(diǎn)可導和可微是等價(jià)的，它們都強于函數在該點(diǎn)連續。
以上就是極限這個(gè)體系下主要的知識點(diǎn)。
導數部分：
導數可以通過(guò)其定義計算，比如對分段函數在分段點(diǎn)上的導數。但更多的時(shí)候，我們是直接通過(guò)各種求導法則來(lái)計算的。主要的求導法則有下面這些：四則運算，復合函數求導法則，反函數求導法則，變上限積分求導。其中變上限積分求導公式本質(zhì)上應該是積分學(xué)的內容，但出題的時(shí)候一般是和導數這一塊的知識點(diǎn)一起出的，所以我們就把它歸到求導法則里面了。能熟練運用這些基本的求導法則之后，我們還需要掌握幾種特殊形式的函數導數的計算：隱函數求導，參數方程求導。我們對導數的要求是不能有不會(huì )算的導數。這一部分的題目往往不難，但計算量比較大，需要考生有較高的熟練度。
然后是導數的應用。導數主要有如下幾個(gè)方面的應用：切線(xiàn)，單調性，極值，拐點(diǎn)。每一部分都有一系列相關(guān)的定理，考生自行回顧一下。這中間導數與單調性的關(guān)系是核心的考點(diǎn)，考試在考о查這一塊時(shí)主要有三種考法：①求單調區間或證明單調性;②證明不等式;③討論方程根的個(gè)數。同時(shí)，導數與單調性的關(guān)系還是理解極值與拐點(diǎn)部分相關(guān)定理的基礎。另外，數學(xué)三的考生還需要注意導數的經(jīng)濟學(xué)應用;數學(xué)一和數學(xué)二的考生還要掌握曲率的計算公式。
積分部分：
一元函數積分學(xué)首先可以分成不定積分和е定積分，其中不定積分是計算定積分的基礎。對于不定積分，我們主要掌握它的計算方法：第一類(lèi)換元法，第二類(lèi)換元法，分部積分法。這三種方法要融會(huì )貫通，掌握各種常見(jiàn)形式函數的積分方法。熟練掌握不定積分的計算技巧之后再來(lái)看一看定積分。定積分的定義考生需要稍微注意一下，考試對定積分的定義的要求其實(shí)就是兩個(gè)方面：會(huì )用定積分的定義計算一些簡(jiǎn)單的極限;理解微元法(分割、近似、求和、取極限)。至于可積性的嚴格定義，考生沒(méi)有必要掌握。然后是定積分這一塊相關(guān)的定理和性質(zhì)，這中間我們就提醒考生注意兩個(gè)定理：積分中值定理和微積分基本定理。這兩個(gè)定理的條件要記清楚，證明過(guò)程也要掌握，考試都直接或間接地考過(guò)。至于定積分的計算，我們主要的方法是利用牛頓—萊布尼茲公式借助不定積分進(jìn)行計算，當然還可以利用一些定積分的特殊性質(zhì)(如對稱(chēng)區間上的積分)。一般來(lái)說(shuō)，只要不定積分的計算沒(méi)問(wèn)題，定積分的計算也就不成問(wèn)題。定積分之后還有個(gè)廣義積分，它實(shí)際上就是把積分過(guò)程和求極限的過(guò)程結合起來(lái)了?？荚噷@一部分的要求不太高，只要掌握常見(jiàn)的廣義積分收斂性的判別，再會(huì )進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的計算就可以了。
會(huì )計算積分了，再來(lái)看一看定積分的應用。定積分的應用分為幾何應用和物理應用。其中幾何應用包括平面圖形面積的計算，簡(jiǎn)單的幾何體(主要是旋轉體)體積的計算，曲線(xiàn)弧長(cháng)的計算，旋轉曲面面積的計算。物理應用主要是一些常見(jiàn)物理量的計算，包括功，壓力，質(zhì)心，引力，轉動(dòng)慣量等。其中數學(xué)一和數學(xué)二的考生需要全部掌握;數學(xué)三的考生只需掌握平面圖形面積的計算，簡(jiǎn)單的幾何體(主要是旋轉體)體積的計算。這一部分題目的綜合性往往比較強，對考生綜合能力要求較高。
這就是高等數學(xué)整個(gè)學(xué)科從三種基本運算的角度梳理出來(lái)的主要知識點(diǎn)。除此之外，考生需要掌握的知識點(diǎn)還有多元函數微積分，它實(shí)際上是將一元函數中的極限，連續，可導，可微，積分等概念推廣到了多元函數的情況，考生可以按照上面一樣的思路來(lái)總結。另外還有兩章：級數、微分方程。它們可以看做是對前面知識點(diǎn)綜合的應用。比如微分方程，它實(shí)際上就是積分學(xué)的推廣，解微分方程就是求積分。而級數則是對極限，導數和積分各種知識的綜合應用。
