常微分方程 考試大綱
(科目代碼：578 )
第一章 初等積分法
考試要點(diǎn)
準確理解微分方程的一些最基本的概念;按如下兩條主線(xiàn)掌握一階方程的初等積分法：變量分離方程和通過(guò)變換可化為變量分離方程的方程，全微分方程和通過(guò)積分因子法或分項組合法可化為全微分方程的方程;掌握隱式微分方程的微分消參法和可降階的高階微分方程的解法。
考試內容
第一節 微分方程與解
基本概念：微分方程、階、解與積分(通解與通積分，特解與積分)、定解問(wèn)題，通過(guò)單擺方程和人口模型等介紹微分方程的背景和建立微分方程求解應用問(wèn)題的基本方法。
第二節 變量可分離方程
第三節 變量分離法
第四節 齊次方程
齊次方程和一些齊次方程的變形的解法。
第五節 一階線(xiàn)性方程
一階線(xiàn)性方程的解法—常數變易法與Bernoulli方程的解法;通過(guò)解的一般表達式討論解的性質(zhì)。
第六節 全微分方程及積分因子
全微分方程的解法和積分因子法、分項組合法
第七節 線(xiàn)素場(chǎng) 歐拉折線(xiàn)
一階微分方程的幾何解釋和歐拉折線(xiàn)法。
第八節 一階隱式微分方程
一階隱式微分方程的微分消參法，特別是Clairaut方程的解法、奇解與包絡(luò )。
第九節 一階微分方程應用舉例
簡(jiǎn)介
第十節 幾種可降階的高階方程
幾種可降階的高階微分方程的解法
考核要求
掌握微分方程的基本概念--微分方程、階、解與積分(通解與通積分，特解與積分)等;掌握變量分離方程和通過(guò)變換可化為變量分離方程的方程、全微分方程和通過(guò)積分因子法或分項組合法可化為全微分方程的一階微分方程的解法;掌握隱式微分方程的微分消參法和可降階的高階微分方程的解法;能夠通過(guò)解的一般表達式討論解的性質(zhì)，理解和應用奇解概念;通過(guò)建立微分方程求解一些應用問(wèn)題。
第二章 基本定理
考試要點(diǎn)
解的存在唯一性定理、延拓定理、解對初值的連續依賴(lài)性和可微性定理以及所涉及概念的準確理解，解的存在唯一性定理的詳細證明。
考試內容
第一節 解的存在性與唯一性定理
解的存在唯一性定理;依據具體例子對定理的條件做詳細說(shuō)明。
第二節 解的延展
解的延展定理，示例說(shuō)明該定理的條件;介紹第一比較定理。
第三節 解對初值的連續依賴(lài)性
理解并證明解對初值的連續依賴(lài)性定理。
第四節 解對初值的可微性
理解并證明解對初值的可微性定理。
考核要求
重點(diǎn)掌握解的存在唯一性定理、延拓定理的內容以及解的存在唯一性定理的證明思想;熟練掌握Picard逼近列、Lipschits條件和延拓概念。
