一、考試要求
主要考察考生是否掌握了實(shí)變函數的基本概念、基本理論和基本方法，包括集合的勢與對等、Borel集類(lèi)、Lebesgue測度、可測函數、可測函數的收斂、Lebesgue積分等的基本概念;集合序列的上下限集、可測集經(jīng)交并差運算、Lebesgue積分等的計算方法，Cantor 集的構造、可測函數“幾乎處處收斂”與“測度收斂”以及“近一致收斂”之間的關(guān)系，Lebesgue積分與廣義Riemann積分的異同，一般可測函數積分的性質(zhì)。Riemann 可積性與Lebesgue可積性之間的關(guān)系，Lebesgue積分的極限定理等;以及是否具備運用基本理論和基本方法，分析解決問(wèn)題的能力。
二、考試內容
1、集合的基本運算;集合序列的上、下限集。集合的勢的定義，勢的性質(zhì)，勢的比較。常見(jiàn)集合的勢及其基本性質(zhì);
2、n維空間中集合的內點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)、開(kāi)集、閉集等概念，明確開(kāi)集的構造.理解完備集的概念,特別要掌握Cantor 集;
3、外測度概念，外測度與體積的關(guān)系，可測集的定義及其性質(zhì)，包括可測集經(jīng)交、并、差運算后的可測性，可數個(gè)可測集的交集或并集的可測性、可數可加性以及可測集序列的極限之可測性。Borel集類(lèi);Lebesgue可測集的結構;
4、可測函數的概念,可測函數的特征性質(zhì),簡(jiǎn)單函數的有關(guān)性質(zhì)。掌握“幾乎處處收斂”與“測度收斂”以及“近一致收斂”的概念和它們之間的關(guān)系;
5、一般可測函數積分的定義，Lebesgue積分與廣義Riemann積分的異同，一般可測函數積分的性質(zhì)。Riemann 可積性與Lebesgue可積性之間的關(guān)系。Lebesgue積分的極限定理，包括Levi定理、Fatou引理、 Lebesue控制收斂定理及其應用，Riemann可積的充要條件。掌握L 積分的概念,理解L 積分和R 積分的關(guān)系.掌握L 積分的性質(zhì),對有關(guān)L 積分的三個(gè)極限定理及其應用。
三、題型
試卷滿(mǎn)分為100分，其中：判斷題占30%，計算分析題占20%，證明題占50%。
四、參考教材
1.《實(shí)變函數與泛函分析基礎》(第三版).程其襄等.高等教育出版社，2010。
2.《實(shí)變函數與泛函分析概要》(第三版).鄭維行、王聲望主編.高等教育出版社，2005。
原標題：2023年全日制和非全日制碩士研究生初試、復試、同等學(xué)力加試科目考試大綱
文章來(lái)源：https://www.csust.edu.cn/yjsy/info/1121/10052.htm
