第一部分 目標與基本要求
一、目標
“數學(xué)專(zhuān)業(yè)基礎綜合”科目包括常微分方程和數值分析兩門(mén)課程，這兩門(mén)課程是基礎數學(xué)、應用數學(xué)、計算數學(xué)和數理統計學(xué)的重要基礎課程。通過(guò)這兩門(mén)課程的學(xué)習，學(xué)生能系統地掌握有關(guān)常微分方程的基本理論、求解常微分方程的常用方法、數值分析中的經(jīng)典算法及其分析與應用，并為后繼各數學(xué)分支的深入研究打下堅實(shí)的基礎。
二、基本要求
“數學(xué)專(zhuān)業(yè)基礎綜合”課目考試的主要內容為常微分方程的基本理論及各類(lèi)常微分方程的求解方法、數值分析的基本理論、非線(xiàn)性方程（組）與線(xiàn)性代數方程組的數值方法、數值微分與數值積分及特征值的數值方法等。同時(shí)要求考生了解常微分方程的穩定性理論，掌握矩陣分析基礎，熟練分析經(jīng)典算法的穩定性或收斂性，熟悉經(jīng)典算法的設計及其應用。
第二部分 具體內容
一、常微分方程部分：
1、初等積分法
(1) 了解常微分方程產(chǎn)生的背景、它與數學(xué)分析和高等代數課程之間的關(guān)系，了解線(xiàn)性方程和非線(xiàn)性方程的判別；
(2) 了解變量分離方程、齊次方程相關(guān)概念；
(3) 了解一階線(xiàn)性方程的相關(guān)定義，如齊次方程、非齊次方程、齊次項和非齊次項等，了解Bernoulli方程的概念；
(4) 了解全微分方程、積分因子的概念；
(5) 了解一階隱式方程的定義、一階隱式方程的四種類(lèi)型、高階方程的定義;
(6) 理解常微分方程相關(guān)概念：常微分方程、解、特解、通解，初始條件、積分曲線(xiàn)等；
(7) 理解初等積分法的內涵，即利用不定積分求微分方程的解；理解微分形式的變量分離方程；
(8) 理解Bernoulli方程的解法、一階線(xiàn)性方程初始問(wèn)題的求解公式；
(9) 理解全微分方程求解思想，即利用二元函數微分理論，求二元函數微分的原函數；理解積分因子的不唯一性；
(10) 理解一階隱式方程與顯式方程的不同之處、一階隱式方程的求解難點(diǎn)、高階方程的求解難點(diǎn);
(11) 掌握變量分離方程的解法；
(12) 掌握一階線(xiàn)性齊次方程的解法、常數變易法、一階線(xiàn)性非齊次方程的解法；
(13) 掌握全微分方程的解法、全微分方程的判斷、特殊積分因子的求法；
(14) 掌握四種類(lèi)型的一階隱式方程的求解方法、高階方程的降階法(不顯含自變量的高階方程, 恰當導數方程)。
2、基本定理
(1) 了解解的存在與唯一性定理的條件和結論、解的存在區間、Picard逐步逼近法等概念；
(2) 了解局部Lipschitz條件的概念、函數是否滿(mǎn)足局部Lipschitz條件的驗證、局部Lipschitz條件在解的延展過(guò)程中的作用、解對初值的連續依賴(lài)性和可微性；
(3) 理解全局Lipschitz條件的概念、函數是否滿(mǎn)足Lipschitz條件的驗證、Lipschitz條件在存在唯一性定理證明中的作用；
(4) 理解飽和解、最大存在區間的概念、解的延展過(guò)程、飽和解的存在區間與解的漸近關(guān)系；
(5) 掌握解的存在與唯一性定理的證明、Picard解序列的構造及收斂性的證明，會(huì )用Picard逐步逼近法求近似解；
(6) 掌握比較原理和解的延展定理及其證明、初值對解的存在區間的影響。
3、一階線(xiàn)性微分方程組
(1) 了解線(xiàn)性微分方程組的有關(guān)概念(系數矩陣、向量值函數、方程組的初始問(wèn)題)、方程組解的存在唯一性定理及證明思路；
(2) 了解常系數線(xiàn)性微分方程組的系數矩陣的特征方程、特征根、特征向量，了解特征根、特征向量與解的關(guān)系；
(3) 理解向量值函數線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念，理解Wronsky行列式的概念、基本解組的概念、基本解的Wronsky行列式的性質(zhì)、Liouville公式；
(4) 掌握利用系數矩陣的特征根、特征向量求常系數線(xiàn)性微分方程組的基本解組的方法；
(5) 掌握線(xiàn)性（齊次、非齊次）微分方程組解的結構、通解基本定理、常數變易法，掌握向量值函數線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的判斷；
(6) 掌握常系數線(xiàn)性微分方程組的解法。
4、n階線(xiàn)性微分方程
(1) 了解n階線(xiàn)性微分方程解的存在唯一性定理、函數組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)、函數組的Wronsky行列式等概念；
(2) 了解n階常系數線(xiàn)性齊次微分方程的特征方程、特征根；由特征根確定微分方程的解；
(3) 了解非齊次項的概念、利用常數變易法求特解的方法；
(4) 了解質(zhì)點(diǎn)運動(dòng)方程的物理意義、振動(dòng)、無(wú)阻尼自由振動(dòng)、阻尼自由振動(dòng)、無(wú)阻尼強迫振動(dòng)、阻尼強迫振動(dòng)等概念；
(5) 了解Laplace變換及其在微分方程初值問(wèn)題求解問(wèn)題中的應用；
(6) 理解n階線(xiàn)性微分方程與n維線(xiàn)性方程組之間的關(guān)系，即對任意一個(gè)n階線(xiàn)性微分方程，可將其化為一個(gè)n維線(xiàn)性方程組，且他們的解是等價(jià)的；理解基本解組、Liouville公式；
(7) 理解由復特征根如何確定微分方程解的方法；
(8) 理解比較系數法與常數變易法的差異；
(9) 理解微分方程的解與振動(dòng)之間的聯(lián)系，共振概念；
(10) 理解冪級數解法大意；
(11) 掌握函數組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的證明方法，n階（齊次、非齊次）線(xiàn)性微分方程的通解結構定理的證明；
(12) 掌握n階常系數線(xiàn)性齊次微分方程的解法；
(13) 掌握第一類(lèi)型、第二類(lèi)型n階常系數線(xiàn)性非齊次微分方程的解法；
(14) 掌握通過(guò)求二階常系數線(xiàn)性方程的通解探討力學(xué)問(wèn)題中振動(dòng)現象的方法，理解阻尼項和強迫項對振動(dòng)的影響；
(15) 掌握相關(guān)定理及其在微分方程初值問(wèn)題求解問(wèn)題中的應用。
